В семейството на арменски имигрант-стоматолог и на американка, преподаваща музика, в Далас през 1921 г. се ражда син. Дават му името Йервант, но всички го наричат Гари. От малък момчето започва да се увлича по музиката – видимо наследява таланта от майка си. След като завършва училище се ориентира към държавния университет на Северен Тексас, където по това време се намира и най-известният музикален факултет, където има джазов отдел. И макар още да е студент, Йервант Гари Бабасян започва да свири в оркестъра на Чарли Фикс и гастролира с известните вече по това време музиканти Джими Джой, Боб Стронг, Били Роджърс, Джин Барнет, Бени Гудман, Уди Герман, Джери Греъм, Томи Ривз, Джин Роланд. През 1945 г, докато пътува по турнета с Чарли, младежът решава да се премести в Лос Анджелес, където влиза в оркестъра на Бени Гудман и прави записи с групата му.
След две години заедно с новите си колеги записва първото в историята на джаза соло парче на виолончело. Градът на ангелите предвещава огромен успех на Гари. Още повече, че се снима във филма „A Song Is Born“ (известен още под заглавието "Това е животът"), разказващ за творчеството на такива именити джазмени като Гудман, Луи Армстронг, Чарли Барнет и други звезди. Да се окаже в една лента с такива знаменитости става важен фактор за кариерата на младежа.
По време на снимките Бабасян се запознава с бразилския китарист Лауриндао Алмейда. Двамата музиканти решават да опитат някои неща заедно и започват да експериментират, смесвайки бразилската музика с джаза. А през април 1953 г. записват две грамофонни плочи като създават нов стил в джаза или по-скоро тяхната музика става предшественик на стила Bossa Nova, който експлодира в края на 50-те години. По същото време вече популярният Гари събира собствена група – Harry Babasin и Jazzpickers, която пуска три албума. Междувременно през 1952 г. арменецът с барабаниста Рой Харт решават да създадат голяма звукозаписна компания. Така се появява „Ноктюрн рекордс“, която издава 10 грамофонни плочи.
Постепенно звездата на джазмена заглъхва и той отново започва да работи с Чарли Барнет. През 70-те години заедно с Рой Харт създават първият в САЩ джаз-архив, цифровизират старите записи и благодарение на това много шедьоври от онова време са запазени до наши дни.
Заедно с Джон Банистър Гари Бабасян гастролира за последно през 1985 г., когато е вече на 64 години. Три години по-късно умира от енфизем. Но оставя дълбок спомен сред музикантите, с които работи, а през своята впечатляваща кариера успява да запише повече от 1500 песни.