Богикян се ражда през 1856 г. в Западна Армения, в село Усеник на провинция Харперт. Семейството му е многодетно – с шест деца и не е особено богато. Момчето е само на четири години, когато баща му Аракел умира и майката Екса поема грижата за всички като се занимава с тъкане. Когато поема по дългия път отвъд океана, той е само на 20 години и няма никакви средства в джоба си. Установява се в Бостън, щата Масачузетс.
По-късно в мемоарите си ще напише, че за „великата страна Америка и нейните благородни хора“, научава от мисионерите-протестанти, които пристигат в османската провинция, започват да проповядват и преподават. Богикян посещава американското училище в Харперт четири или пет месеца. След като слуша толкова примамливи неща за непознатата страна, той се запалва да замине и да се установи там. Мисионерите се опитват да го разубедят, твърдейки, че най-малкото не знае езика. Но младежът е твърдо решен и тъй като няма средства, намира друг начин – поема на път с едно семейство като детегледач на малчуганите им. За кратко всички спират в Париж, а после продължават към Англия. Агоп иска да разговарят с него на английски, за да усвои поне малко езика, но така или иначе пътищата им се разделят в Ливърпул, тъй като работодателите му не се държат особено добре с него.
Дните му в Англия са трудни – без знаене на език, без средства, без покрив, той успява да си намира различни работи, спи в склада на магазина за зеленчуци, където работи известно време, или в сеновала във фермата, където му плащат по един шилинг на ден. Понякога няма пари дори за хляб. Един ден съдбата му се усмихва като го среща с арменец – търговец, който с кораби пренася стоки за Турция. Той също се опитва да го убеди да се върне в родината си, но младежът е уверен, че трябва да преследва американската си мечта. В крайна сметка търговецът му помага да се качи на кораб и след дълго плаване Богикян се озовава в Бостън.
По онова време е особено успешен бизнесът с продажбата на източни килими и той се ориентира към него. Несгодите са много, но с труд, предприемчивост и последователност Агоп успява след години да стане един от най-крупните предприемачи в тази област. И разбира се, постига впечатляващ финансов успех. На практика към края на XIX век бившият емигрант става първият милионер с арменски корени в Щатите.
Благодарение на работата си арменецът не само става един от най-богатите хора по онова време, но и има сериозни контакти с елита на Новия свят и извън пределите му. Предприемачът, подобно на доста заможни хора тогава, се ангажира и с благотворителна дейност, като водеща е финансовата и хуманитарна подкрепа, която той оказва в Америка на своите сънародници и на арменците в Османската империя.
През октомври 1887 г. той се жени за Хелън – англичанка с благородническо потекло. Преди това обаче, пак с упоритост, той успява да получи американско гражданство през 1882 г.
По време на кланетата на султан Абдул Хамид (1894-1896 г.) Богикян се включва активно в набирането на средства за арменците и убеждава основателя на американския Червен кръст Клара Бартън да организира мисия за оказване на помощ на арменците. Многократно чрез американската преса призовава за спиране на гоненията над арменците в Османската империя и участва в различни мисии за спасяването на останалите живи по време на Голямото клане арменци.
Замогналият се арменец става един от благодетелите и попечителите на Wilson College в Чембърсбърг, Пенсилвания, където учи съпругата му, както и на други образователни институции в Калифорния и Масачузетс. Тъй като няма деца или наследници, по-голямата част от състоянието му е насочено към образователни стипендии, предимно за жени от арменски произход. Фондът за стипендии на Богикян сега възлиза на около един милион долара.
През 2016 г. в САЩ бе публикувана книгата „Агоп Богикян: арменско-американски пионер и филантроп“, разказваща за живота и работата на първия арменски милионер и благодетел.